[Statistics] 이항 분포 vs 초기하 분포 (feat. 야코프 베르누이)

2021-12-14 1 분 소요

Purpose of this Posting

베르누이 분포(Bernoulli Distribution)

베르누이 분포는 왜???

바로 베르누이 분포는 이항 분포의 기초가 되는 중요한 분포이기 때문입니다!

|| |:—:| ① 시행에서 발생 가능한 결과는 2가지입니다. ② 각 시행은 독립적으로 시행됩니다. ③ 각 시행에서 결과의 확률은 항상 동일합니다. ①, ②, ③ 만족시키는 시행 -> 베르누이 시행(Bernoulli Trial)

베르누이 시행에서 결과 A와 결과 B가 있다고 할 때, 결과 A이면 0, 성공이면 1의 값을 갖는 확률변수 X와 확률분포는 아래와 같습니다.

이러한 확률 분포를 베르누이 분포(Bernoulli Distribution) 라고 하고, 베르누이 분포를 따르는 따르는 확률 변수를 베르누이 변수(Bernoulli Random Variable) 라고 합니다.

시행에서 발생할 결과가 두 가지(R1, R2)인 베르누이 시행에서 확률 변수는 R1일 경우 1, R2일 경우 0인 베르누이 확률 변수를 갖는 시행이 있다고 해보겠습니다.

R1일 확률이 p인 이 시행(베르누이 시행)을 n번 반복했을 때 R1 횟수의 분포를 이항 분포(Binomial Distribution) 라고 합니다.

이항분포의 일반식과 표현

만약, 시행 횟수 n = 1이면 이항 분포는 베르누이 분포입니다.

쉽게 말해 이항 분포는 베르누이 시행을 한 번, 혹은 두 번 이상을 했을 때 어떤 결과가 나올 횟수의 분포입니다.

베르누이 시행의 조건 ②(각 시행은 독립적으로 시행됩니다.)를 통해 이항 분포는 복원 추출을 통해 진행된다는 것을 알 수 있습니다. 그러면 비복원 추출을 통해 진행되는 것도 있겠죠…?

그것은 바로 초기하 분포입니다.

초기하 분포(Hypergeometric Distribution) 에서의 시행은 베르누이 시행의 세 가지 조건 중 ②(각 시행은 독립적으로 시행됩니다.)이 충족되지 않은 시행입니다. -> 비복원으로 추출합니다.

한 마디로 이항 분포와 초기하 분포의 차이는 추출 방식에 있다는거죠!

이항 분포는 복원 추출! 초기하 분포는 비복원 추출!

초기하 분포의 구조를 이해하기 쉽도록 그림을 그려보았습니다!

초기하 분포

이제 초기화 분포란 무엇이고, 구조까지 알아보았으니 일반식도 한 번 알아보도록 하겠습니다.

(M : 부모 집단 A의 크기, N : 모집단의 크기, n : 시행 횟수, x : 시행 횟수 중에서 하나의 결과가 나올 횟수)

초기화 분포의 일반식

여기서 한 가지 재밌는 생각이 들 수 있습니다.

초기하 분포를 이항 분포처럼 사용할 수는 없을까..?

초기하 분포는 비복원 추출을 하기에 베르누이 시행에서 세 가지 조건 중 ②(각 시행은 독립적으로 시행됩니다.)이 충족되지 않은 시행을 한 것인데 이 조건만 충족해주면 베르누이 시행이고 초기하 분포를 이항 분포처럼 사용할 수 있지 않을까요..?

네. 초기하 분포를 이항 분포로 근사해서 사용할 수 있습니다!

단, 시행 횟수에 비해 모집단의 크기가 상대적으로 큰 경우에만 가능합니다.

∴ 시행 횟수(n)에 비해 모집단의 크기(N)가 상대적으로 크면 비복원의 효과가 적어서 베르누이 실험으로 근사되고, 초기하 분포는 p = M/n인 이항 분포로 근사되기 때문이죠~!

이렇게 해서 베르누이 분포, 이항 분포, 초기하 분포에 대해 알아보았습니다! 감사합니다!