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Purpose of this Posting

  • 공분산과 상관 계수에 대해 알아봅니다.

산점도(Scatter plot)

공분산과 상관계수를 알기 위해서는 산점도란 무엇인지 우선 알아야 합니다.

산점도(Scatter) 연속형 변수 두 개 간의 관계를 보기 위해서 평면에 점을 찍어 만든 통계 그래프입니다.


산점도(Scatter Plot) 그래프

산점도 그래프를 보아 알 수 있듯이 점들은 두 변수 x, y 순서쌍 자료 값에 맞게 찍힙니다.

공분산(Covariance)

공분산(Covariance)은 두 변수 간에 직선 관계가 어느 정도인지를 나타내 주는 통계 값입니다.

공분산은 위에서 설명한 산점도를 통해서 두 변수 간에 관계의 존재 여부를 시각적으로 확인할 수 있습니다.

평균 순서쌍 값인 (x, y)를 기준으로 분포하는 형태에 따라 아래의 두 가지 관계로 분류할 수 있습니다.

  • 평균 순서쌍 값인 (x, y)를 중심으로 1 사분면과 3 사분면에 자료가 많고 길게 분표 할 경우 -> 양의 관계
  • 평균 순서쌍 값인 (x, y)를 중심으로 2 사분면과 4 사분면에 자료가 많고 길게 분표 할 경우 -> 음의 관계

양의 관계일 경우 아래의 그래프와 같이 산점도가 양의 기울기를 가집니다.


양의 관계

음의 관계일 경우 아래의 그래프와 같이 산점도가 음의 기울기를 가집니다.


음의 관계

이를 통해 평균 순서쌍 값인 (x, y)로부터 멀어질수록 직선 관계가 분명해짐을 알 수 있습니다!

표본 공분산(Sample Covariance)의 일반식과 간편식


표본 공분산 일반식


표본 공분산 간편식

여기까지 보신 분들 중에 아래와 같은 궁금증을 갖게 되신 분들이 계실 겁니다.

c > 0일 때는 양의 관계, c < 0일 때는 음의 관계
그렇다면 c = 0이거나 0에 근사할 때는?

그래서 바로 밑에서 c = 0이거나 0에 근사할 때 산점도를 알아보려고 합니다!

Scatter plot when c ≈ 0

직선 관계가 없는 c≈0일 때 산점도의 두 가지 어떤 형태를 보여드리도록 하겠습니다.

첫 번째는  c≈0이고, 4 사분면이 모두 비슷하게 분포한 산점도입니다.


첫 번째 케이스

두 번째는  c≈0이고, 1 사분면과 2 사분면이 비슷하게 분포하고, 3 사분면과 4 사분면이 비슷하게 분포한 산점도입니다.


두 번째 케이스

상관 계수 (Coefficient of Correlation)

상관 계수(Coefficient of Correlation)는 공분산의 문제점을 보완해주는 값입니다.

문제점은 바로 공분산이 측정 단위에 영향을 많이 받아서 공분산 그 자체로 선형 관계의 정도는 알 수 없다는 것입니다.

한마디로, 양수인지 음수인지는 알 수 있지만 양수 값끼리, 음수 값끼리의 값 비교는 불가하다는 거죠…

상관 계수에는 피어슨 상관계수, 켄달 상관계수 등이 존재하지만 저희가 알아볼 상관 계수는 피어슨 상관 계수입니다.

왜냐하면 상관 계수라고 하면 대부분 피어슨 상관 계수를 의미하기 때문입니다.

글이 더 길어질 것 같아 피어슨 상관 계수 내용은 다음 포스팅에서 찾아뵙도록 하겠습니다.

지금까지 공분산과 상관 계수에 관한 내용 잘 읽어주셔서 감사합니다.

이어지는 피어슨 상관 계수 내용도 잘 읽어주시면 감사하겠습니다!

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참고